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The short answer is

1. Determine the number of ways to get the sum (n)

2. Determine the total number of possibilities (t)

3. Divide (n) by (t)

Example 1:

Using two dice, each with six sides, what is the probability of rolling a seven?

1. How many ways can you get seven?

1+6 | 2+5 | 3+4 | 4+3 | 5+2 | 6+1

There are six different ways to roll a sum of seven.

2. How many total different rolls are there?

Multiply the number of faces on each die.

There are six faces on each die so 6 times 6 is 36.

3. 6 / 36 is 1/6 (one sixth). This is a repeating decimal fraction, 0.1666... which would be expressed as a percentage (rounded to one decimal place) as 16.7 percent.

Another way to state the probability is to say "one chance out of six."

Example 2:

Using one six-sided die and one eight-sided die, what is the probability of rolling 12?

1. How many ways can you get 12?

4+8 : 5+7 : 6+6

There are three ways to get 12.

2. How many total different rolls are there?

The dice have six faces and eight faces, so 6 times 8 is 48.

3. 3/48 = 1/16 = .0625, which is 6.25 percent.

Now, you may be wondering why we have to count the combination of 6 and 1 twice, that is, 1+6=7 and 6+1=7.

To understand this let's consider every possible roll. For the first example when we roll the first six-sided die there are six different possibilities. For each of these we have the same six possibilities for the second die. Let's list them all.

1+1 : 1+2 : 1+3 : 1+4 : 1+5 : 1+6

2+1 : 2+2 : 2+3 : 2+4 : 2+5 : 2+6

3+1 : 3+2 : 3+3 : 3+4 : 3+5 : 3+6

4+1 : 4+2 : 4+3 : 4+4 : 4+5 : 4+6

5+1 : 5+2 : 5+3 : 5+4 : 5+5 : 5+6

6+1 : 6+2 : 6+3 : 6+4 : 6+5 : 6+6

A total of 36 pairs.

Now what are the sums for each pair?

2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 7

3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8

4 : 5 : 6 : 7 : 8 : 9

5 : 6 : 7 : 8 : 9 : 10

6 : 7 : 8 : 9 : 10 : 11

7 : 8 : 9 : 10 : 11 : 12

You can see there are six different sums that equal seven.


For the second example there are six different possibilities for the first die (1 2 3 4 5 6) and for each of these we have eight possibilities for the second die: (1 2 3 4 5 6 7 8). Let's list them all.

1+1 : 1+2 : 1+3 : 1+4 : 1+5 : 1+6 : 1+7 : 1+8

2+1 : 2+2 : 2+3 : 2+4 : 2+5 : 2+6 : 2+7 : 2+8

3+1 : 3+2 : 3+3 : 3+4 : 3+5 : 3+6 : 3+7 : 3+8

4+1 : 4+2 : 4+3 : 4+4 : 4+5 : 4+6 : 4+7 : 4+8

5+1 : 5+2 : 5+3 : 5+4 : 5+5 : 5+6 : 5+7 : 5+8

6+1 : 6+2 : 6+3 : 6+4 : 6+5 : 6+6 : 6+7 : 6+8

48 total pairs.

Now what are the sums of each pair?

2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8 : 9 : 10

3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8 : 9 : 10 : 11

4 : 5 : 6 : 7 : 8 : 9 : 10 : 11 : 12

5 : 6 : 7 : 8 : 9 : 10 : 11 : 12 : 13

6 : 7 : 8 : 9 : 10 : 11 : 12 : 13 : 14

So there is only one way to roll a 2, two ways to roll a 3, and so on.


But what if we roll three dice? We have many more possibilities! For three six-sided dice there are 6 x 6 x 6 = 216! Too many to list them all so let's pick a simpler problem.

Suppose we have three coins, which can be considered two-sided "dice." Instead of heads and tails on each side let's say there is a 1 on one side and a 2 on the other. There are two possibilities for each flip so 2 x 2 x 2 = 8 total possibilities.

[1+1+1] : [1+1+2] : [1+2+1] : [1+2+2] : [2+1+1] : [2+1+2] : [2+2+1] : [2+2+2]

So the sums are

3 : 4 : 4 : 5 : 4 : 5 : 5 : 6

There's only one way to get a sum of 3 (1+1+1) so the odds are 1 out of 8.

There are 3 ways to get a sum of 4 ([1+1+2] [1+2+1] [2+1+1]) so the odds are 3 out of 8.

There are 3 ways to get a sum of 5 ([1+2+2] [2+1+2] [2+2+1]) so the odds are 3 out of 8.

There's only one way to get a sum of 6 ([2+2+2]) so the odds are 1 out of 8.

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